Revision [751c535]
Letzte Änderung am 2020-10-27 15:35:46 durch Oksana Neopagitova
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### Tutorium Mathematik 2


#### Taylorreihe - Lösungen


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| +| **1.1.** Entwickeln Sie die Funktion y = f(x) =1/(5&#8730;(1+x)^3) an der Stelle x0= 0 in eine Taylorreihe bis zum Glied x^4 mit Hilfe der Binomischen Reihe !<br />**Lösung:**<br />&#945;= -3/5<br />((-3/5)/1) = -3/5<br />((-3/5)/2) = ((-3/5)(-8/5))/1*2 = 12/25<br />((-3/5)/3) = ((12/25)(-13/5))/3 = -52/125<br />((-3/5)/4) = ((-52/125)(-18/5))/4 = 234/625<br />1/(5&#8730;(1+x)^3) = rund 1- 3/5x + 12/25x^3 + 234/625x^4<br />************-<br />**1.2** Entwickeln Sie die Funktion y = f(x) =&#8730;(1+sin(2x)) an der Stelle x0= 0 in eine Taylorreihe bis zum quadratischen Glied x^2!<br />**Lösung:**<br />f'(x) = 1/2(1+sin(2x))^-1/2* 2cos(2x) = cos(2x)/&#8730;(1+sin(2x))<br />f'(0) = 1<br />f''(x) = -1/2(1+sin(2x))^-3/2* 2cos(2x)* cox(2x)+(1+sin(2x))^-1/2*(-2sin(2x))<br />f''(x) =((sin(x)+cos(x))^4)/&#8730;(1+sin(2x))^3<br />f''(0) = -1<br />&#8730;((1+sin(2x)) =rund 1+x-1/2x^2<br />************<br><br />**1.3** Entwickeln Sie y=f(x)=ln(x+e^x) an der Stelle x0= 0 in eine Taylorreihe (Mac Laurin-Reihe) bis zum Glied x^2.<br />**Lösung:**<br />y = ln(x+e^x) y(0) = 0<br />y' = 1/(x+e^x)* (1+e^x) y'(0) = 2<br />y'' = ((x+x^x)e^x - (1+e^x)^2)/(x+e^x)^2 y''(0) =-3<br />y(x) = 2x-3/2x^2<br />****************--<br />**1.4** Entwickeln Sie y= f(x)= 1/(4&#8730;(1+x^2)^3) an der Stelle x0 = 0 in eine Taylorreihe bis zum Glied x^8 mit Hilfe der binomischen Reihe.<br />**Lösung:**<br />y = f(x) =1/(4&#8730;(1+x^2)^3) = (1+x^2)^-3/4 = (1+z)^-3/4<br />z = x^2 &#945; = -3/4<br />(&#945;)<br />(0) =1 <br />(-3/4)<br />(1) = -3/4<br />(-3/4)<br />(2)<br />= ((3/4)(-7/4))/1*2 = 21/32<br />(-3/4)<br />(3)<br />= 21/32*<br />(-11/4)<br />(3)<br />=77/128<br />(-3/4)<br />(4)<br />=-77/128*<br />(-15/4)<br />(4)<br />=1155/2048<br />f(x) = 1-3/4x^2 + 21/32x^4 - 77/128x^6 + 1155/2048x^8 <br />




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#### Taylorreihe - Lösungen
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| -| **1.1.** Entwickeln Sie die Funktion y = f(x) =1/(5&#8730;(1+x)^3) an der Stelle x0= 0 in eine Taylorreihe bis zum Glied x^4 mit Hilfe der Binomischen Reihe !<br />**Lösung:**<br />&#945;= -3/5<br />((-3/5)/1) = -3/5<br />((-3/5)/2) = ((-3/5)(-8/5))/1*2 = 12/25<br />((-3/5)/3) = ((12/25)(-13/5))/3 = -52/125<br />((-3/5)/4) = ((-52/125)(-18/5))/4 = 234/625<br />1/(5&#8730;(1+x)^3) = rund 1- 3/5x + 12/25x^3 + 234/625x^4<br />************-<br />**1.2** Entwickeln Sie die Funktion y = f(x) =&#8730;(1+sin(2x)) an der Stelle x0= 0 in eine Taylorreihe bis zum quadratischen Glied x^2!<br />**Lösung:**<br />f'(x) = 1/2(1+sin(2x))^-1/2* 2cos(2x) = cos(2x)/&#8730;(1+sin(2x))<br />f'(0) = 1<br />f''(x) = -1/2(1+sin(2x))^-3/2* 2cos(2x)* cox(2x)+(1+sin(2x))^-1/2*(-2sin(2x))<br />f''(x) =((sin(x)+cos(x))^4)/&#8730;(1+sin(2x))^3<br />f''(0) = -1<br />&#8730;((1+sin(2x)) =rund 1+x-1/2x^2<br />************<br><br />**1.3** Entwickeln Sie y=f(x)=ln(x+e^x) an der Stelle x0= 0 in eine Taylorreihe (Mac Laurin-Reihe) bis zum Glied x^2.<br />**Lösung:**<br />y = ln(x+e^x) y(0) = 0<br />y' = 1/(x+e^x)* (1+e^x) y'(0) = 2<br />y'' = ((x+x^x)e^x - (1+e^x)^2)/(x+e^x)^2 y''(0) =-3<br />y(x) = 2x-3/2x^2<br />****************--<br />**1.4** Entwickeln Sie y= f(x)= 1/(4&#8730;(1+x^2)^3) an der Stelle x0 = 0 in eine Taylorreihe bis zum Glied x^8 mit Hilfe der binomischen Reihe.<br />**Lösung:**<br />y = f(x) =1/(4&#8730;(1+x^2)^3) = (1+x^2)^-3/4 = (1+z)^-3/4<br />z = x^2 &#945; = -3/4<br />(&#945;)<br />(0) =1 <br />(-3/4)<br />(1) = -3/4<br />(-3/4)<br />(2)<br />= ((3/4)(-7/4))/1*2 = 21/32<br />(-3/4)<br />(3)<br />= 21/32*<br />(-11/4)<br />(3)<br />=77/128<br />(-3/4)<br />(4)<br />=-77/128*<br />(-15/4)<br />(4)<br />=1155/2048<br />f(x) = 1-3/4x^2 + 21/32x^4 - 77/128x^6 + 1155/2048x^8 <br />
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Revision [5082d9e]
Bearbeitet am 2016-07-18 07:51:27 von Jorina Lossau
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| **1.1.** Entwickeln Sie die Funktion y = f(x) =1/(5&#8730;(1+x)^3) an der Stelle x0= 0 in eine Taylorreihe bis zum Glied x^4 mit Hilfe der Binomischen Reihe !<br />**Lösung:**<br />&#945;= -3/5<br />((-3/5)/1) = -3/5<br />((-3/5)/2) = ((-3/5)(-8/5))/1*2 = 12/25<br />((-3/5)/3) = ((12/25)(-13/5))/3 = -52/125<br />((-3/5)/4) = ((-52/125)(-18/5))/4 = 234/625<br />1/(5&#8730;(1+x)^3) = rund 1- 3/5x + 12/25x^3 + 234/625x^4<br />************-<br />**1.2** Entwickeln Sie die Funktion y = f(x) =&#8730;(1+sin(2x)) an der Stelle x0= 0 in eine Taylorreihe bis zum quadratischen Glied x^2!<br />**Lösung:**<br />f'(x) = 1/2(1+sin(2x))^-1/2* 2cos(2x) = cos(2x)/&#8730;(1+sin(2x))<br />f'(0) = 1<br />f''(x) = -1/2(1+sin(2x))^-3/2* 2cos(2x)* cox(2x)+(1+sin(2x))^-1/2*(-2sin(2x))<br />f''(x) =((sin(x)+cos(x))^4)/&#8730;(1+sin(2x))^3<br />f''(0) = -1<br />&#8730;((1+sin(2x)) =rund 1+x-1/2x^2<br />************<br><br />**1.3** Entwickeln Sie y=f(x)=ln(x+e^x) an der Stelle x0= 0 in eine Taylorreihe (Mac Laurin-Reihe) bis zum Glied x^2.<br />**Lösung:**<br />y = ln(x+e^x) y(0) = 0<br />y' = 1/(x+e^x)* (1+e^x) y'(0) = 2<br />y'' = ((x+x^x)e^x - (1+e^x)^2)/(x+e^x)^2 y''(0) =-3<br />y(x) = 2x-3/2x^2<br />****************--<br />**1.4** Entwickeln Sie y= f(x)= 1/(4&#8730;(1+x^2)^3) an der Stelle x0 = 0 in eine Taylorreihe bis zum Glied x^8 mit Hilfe der binomischen Reihe.<br />**Lösung:**<br />y = f(x) =1/(4&#8730;(1+x^2)^3) = (1+x^2)^-3/4 = (1+z)^-3/4<br />z = x^2 &#945; = -3/4<br />(&#945;)<br />(0) =1 <br />(-3/4)<br />(1) = -3/4<br />(-3/4)<br />(2)<br />= ((3/4)(-7/4))/1*2 = 21/32<br />(-3/4)<br />(3)<br />= 21/32*<br />(-11/4)<br />(3)<br />=77/128<br />(-3/4)<br />(4)<br />=-77/128*<br />(-15/4)<br />(4)<br />=1155/2048<br />f(x) = 1-3/4x^2 + 21/32x^4 - 77/128x^6 + 1155/2048x^8 <br />
DELETIONS
| **1.1.** Entwickeln Sie die Funktion y = f(x) =1/(5&#8730;(1+x)^3) an der Stelle x0= 0 in eine Taylorreihe bis zum Glied x^4 mit Hilfe der Binomischen Reihe !<br />**Lösung:**<br />&#945;= -3/5<br />((-3/5)/1) = -3/5<br />((-3/5)/2) = ((-3/5)(-8/5))/1*2 = 12/25<br />((-3/5)/3) = ((12/25)(-13/5))/3 = -52/125<br />((-3/5)/4) = ((-52/125)(-18/5))/4 = 234/625<br />1/(5&#8730;(1+x)^3) = rund 1- 3/5x + 12/25x^3 + 234/625x^4<br />************-<br />**1.2** Entwickeln Sie die Funktion y = f(x) =&#8730;(1+sin(2x)) an der Stelle x0= 0 in eine Taylorreihe bis zum quadratischen Glied x^2!<br />**Lösung:**<br />f'(x) = 1/2(1+sin(2x))^-1/2* 2cos(2x) = cos(2x)/&#8730;(1+sin(2x))<br />f'(0) = 1<br />f''(x) = -1/2(1+sin(2x))^-3/2* 2cos(2x)* cox(2x)+(1+sin(2x))^-1/2*(-2sin(2x))<br />f''(x) =((sin(x)+cos(x))^4)/&#8730;(1+sin(2x))^3<br />f''(0) = -1<br />&#8730;((1+sin(2x)) =rund 1+x-1/2x^2<br />**1.3** Entwickeln Sie y=f(x)=ln(x+e^x) an der Stelle x0= 0 in eine Taylorreihe (Mac Laurin-Reihe) bis zum Glied x^2.<br />**1.4** Entwickeln Sie y= f(x)= 1/(4&#8730;(1+x^2)^3) an der Stelle x0 = 0 in eine Taylorreihe bis zum Glied x^8 mit Hilfe der binomischen Reihe.<br />.<br />
Revision [56256bf]
Bearbeitet am 2016-07-17 11:00:44 von Jorina Lossau
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#### Taylorreihe - Lösungen
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| +| **1.1.** Entwickeln Sie die Funktion y = f(x) =1/(5&#8730;(1+x)^3) an der Stelle x0= 0 in eine Taylorreihe bis zum Glied x^4 mit Hilfe der Binomischen Reihe !<br />**Lösung:**<br />&#945;= -3/5<br />((-3/5)/1) = -3/5<br />((-3/5)/2) = ((-3/5)(-8/5))/1*2 = 12/25<br />((-3/5)/3) = ((12/25)(-13/5))/3 = -52/125<br />((-3/5)/4) = ((-52/125)(-18/5))/4 = 234/625<br />1/(5&#8730;(1+x)^3) = rund 1- 3/5x + 12/25x^3 + 234/625x^4<br />************-<br />**1.2** Entwickeln Sie die Funktion y = f(x) =&#8730;(1+sin(2x)) an der Stelle x0= 0 in eine Taylorreihe bis zum quadratischen Glied x^2!<br />**Lösung:**<br />f'(x) = 1/2(1+sin(2x))^-1/2* 2cos(2x) = cos(2x)/&#8730;(1+sin(2x))<br />f'(0) = 1<br />f''(x) = -1/2(1+sin(2x))^-3/2* 2cos(2x)* cox(2x)+(1+sin(2x))^-1/2*(-2sin(2x))<br />f''(x) =((sin(x)+cos(x))^4)/&#8730;(1+sin(2x))^3<br />f''(0) = -1<br />&#8730;((1+sin(2x)) =rund 1+x-1/2x^2<br />**1.3** Entwickeln Sie y=f(x)=ln(x+e^x) an der Stelle x0= 0 in eine Taylorreihe (Mac Laurin-Reihe) bis zum Glied x^2.<br />**1.4** Entwickeln Sie y= f(x)= 1/(4&#8730;(1+x^2)^3) an der Stelle x0 = 0 in eine Taylorreihe bis zum Glied x^8 mit Hilfe der binomischen Reihe.<br />.<br />
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Revision [b4e8ccf]
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