Revision [e5b4e7f]
Letzte Änderung am 2016-07-18 11:37:54 durch Jorina Lossau
ADDITIONS
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| +| **2.1** Gegeben ist folgender impliziter Funktionsausdruck: 9x^2 + 16y^2 - 32y - 128 = 0<br />a) Zeigen Sie, dass diese implizite Funktion eine Ellipse beschreibt, indem Sie die gegebene Gleichung in die Normalform einer Ellipsengleichung bringen !<br />b) Geben Sie die Koordinaten des Zentrums der Ellipse und der Brennpunkte an! <br />c) Fertigen Sie eine Skizze an !<br />d) Zeigen Sie, dass der Punkt P (12/5; 17/5) auf der Ellipse liegt !<br />e) Berechnen Sie den Anstieg, den die Funktionskurve in diesem Punkt P hat. Differenzieren Sie dazu den impliziten Funktionsausdruck !<br />**Lösung:**<br />**a)** <br />9x^2 + 16y^2 - 32y - 128 = 0<br />quadratische Ergänzung:<br />9x^2 + 16(y-1)-16-128=0<br />9x^2 + 16(y-1)^2-144=0<br />x^2/16+((y-1)^2)/9=1<br />**b)** <br />Zentrum: Z(0;1)<br />Brennpunkte: e^2=16-9=7<br />e=+-&#8730;7=+-2,65<br />F1(2,65;1)<br />F2(-2,65;1)<br />**c)** <br />![image](/uploads/Mathe2L2/Grafik1.jpg?width=450)<br />****************--<br />**2.2** Gegeben ist eine Ellipse mit dem Zentrum Z(3;2) und den Halbachsen &#945; = 6 (parallel zur x-Achse) und b = 3(parallel zur y-Achse).<br />a) Geben Sie die Ellipsengleichung in impliziter Form und Parameterform an.<br />b) Skizzieren Sie die Ellipse und berechnen Sie die Brennpunkte.<br />c) Finden Sie die Schnittpunkte der Ellipse mit der y-Achse und geben Sie dort die Gleichungen der Tangenten an die Ellipse an.<br />**Lösung:**<br />**a)** <br />implizite Form:<br />(x-3)^2/36 + (y-2)^2/9 = 1<br />Parameterform:<br />x=6*cost+3<br />y=3*sint+2<br />t ist Element von 0;2pi<br />**b)** <br />![image](/uploads/Mathe2L2/Grafik2.jpg?width=400)<br />e^2=a^2-b^2=36-9<br />e^2=27<br />e=+-&#8730;27=+-5,2<br />Brennpunkte: F1(8,2;2) F2(-2,2;2)<br />**c)** <br />Schnittpunkte der Ellipse mit der y-Achse:<br />x=0-><br />(0-3)^2/36 + (y-2)^2/9 = 1<br />9/36 + (y-2)^2/9 = 1 I :36<br />9+4(y-2)^2=36 I-9<br />4(y-2)^2=27 I:4<br />(y-2)^2=27/4<br />(y-2)=+-3/2&#8730;3<br />y1=2+3/2&#8730;3=rund 4,6 -> P1=(0:4,6)<br />y2=2-3/2&#8730;3=rund -0,6 -> P2=(0;-0,6)<br />Gleichungen der Tangenten:<br />Ellipsengleichung differenzieren:<br />2/36(x-3)+2/9(y-2)y'=0<br />y'=36/(2/9(y-2))=9/36*((x-3)/(y-2))=1/4*((x-3)/(y-2))<br />P1: y'(P1)=-1/4*((-3)/2,6)=rund 0,29 t1: y1=0,29x+4,6<br />P2: y'(P2)=-1/4*((-3)/2,6)=rund 0,29 t2: y2=-0,29x-0,6<br />***************--<br />**2.3.** Gegeben ist folgende Kurve 2. Ordnung:9x^2-18x+9y^2-72=0<br />a) Bringen Sie diese Gleichung in eine geeignete Form um zu beurteilen, um welche Art Kegelschnitt es sich handelt.<br />b) Schreiben Sie die Gleichung des Kegelschnittes in Parameterform.<br />c) Berechnen Sie den Anstieg der Kurve an x=0 (Differenzieren der impliziten Funktionsgleichung) und geben Sie dort die Tangentengleichung(en) an.<br />d) Fertigen Sie eine Skizze an<br />**Lösung:**<br />9x^2-18x+9y^2-72=0<br />9(x-1)^2-9+9y^2-72=0<br />9(x-1)^2+9y^2=81<br />(x-1)^2+y^2=3^2<br />-> Kreis mit dem Mittelpunkt M(1,0) und Radius R=3<br />x=1+3cos(t)<br />y=3sin(t)<br />t ist Element von 0; 2pi<br />9x^2-18x+9y^2-72 = 0 I d/dx<br />18x-18+18yy' = 0<br />y' = (1-x)/y<br />Schnittpunkt mit y-Achse x=0 -> 9y^2=72 y=+-2&#8730;2<br />y'(0)=1/y=1/+-2&#8730;2=+-1/4&#8730;2<br />Tangente an S1 (0;2&#8730;2)<br />y=1/4&#8730;2x+2&#8730;2<br />Tangente an S2 (0;-2&#8730;2)<br />y=-1/4&#8730;2x-2&#8730;2<br />****************<br />**2.4** Eine Hyperbel soll symmetrisch zu den Koordinatenachsen verlaufen und ein Scheitelpunkt soll S(4/0) sein. Außerdem sei y=2x eine Asymptote.<br />Geben Sie die Gleichung der Hyperbel in der impliziten Normalform und in der Parameterform an.<br />**Lösung:**<br />Scheitelpunkt auf x-Achse, also ist Hyperbel nach rechts und links geöffnet mit der Form:<br />(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1<br />a=Strecke OA = 4<br />Anstieg der Asymptoten: b/a = 2 -> b=8<br />Implizite Normalform:x^2/16-y^2/64=1<br />Parameterform: <br />x=+-4cosh(t)<br />y=8sinh(t)<br />t ist Element von R<br />
DELETIONS
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### Tutorium Mathematik 2
#### Kurven in Parameterdarstellung, Kegelschnitte - Lösungen
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