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Letzte Änderung am 2020-10-27 16:00:32 durch Oksana Neopagitova
ADDITIONS
### Tutorium Mathematik 2


#### Integralrechnung - Lösungen



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| +| **6.1** Berechnen Sie folgende Integrale durch lineare Substitution:<br />a) &#8747;&#8730;(2x+b)dx<br />b) &#8747;sin(4t-&#8467;)dt<br />c) &#8747;(von 1 bis 2) dx/(3x-1)^2<br />**Lösung:**<br />a) &#8747;&#8730;(2x+b)dx<br />lineare Substitution:<br />z=2x+b<br />dz/dx=2 ->dx=dz/2<br />&#8747;&#8730;(2x+b)dx = &#8747;&#8730;z dx/2= 3/2*z^(3/2)*1/2+C=1/3(2x+b)^3/2+C<br />b) &#8747;sin(4t-&#8467;)dt<br />lineare Substitution:<br />z=4t-&#8467;<br />dz/dt=4->dt=dz/4<br />&#8747;sin(4t-&#8467;)dt=&#8747;sin(z)dz/4=-1/4cos(z)+C=-1/4cos(4t-&#8467;)+C<br />c) &#8747;(von 1 bis 2) dx/(3x-1)^2<br />lineare Substitution:<br />z=(3x-1)<br />dz/dx=3 -> dx=dz/3<br />&#8747;(von 1 bis 2) dx/(3x-1)^2= &#8747; (von x=1 bis x=2)1/z^2 dz/3=(-1/3*1/z)von x=1 bis x=2 = (-1/3*1/(3x-1) von x=1 bis x=2 = 1/10 <br />**********<br><br />**6.2** Berechnen Sie die unbestimmten Integrale mit den angegebenen Methoden. Alle dazu notwendigen Zwischenschritte müssen klar erkennbar sein:<br />J=&#8747;&#8730;(8x+17)^5dx<br />J=&#8747;x^3ln(3x)dx<br />J=&#8747;(2x-1)/x(x+3)^2<br />a) lineare Substitution<br />b) partielle Integration<br />c) Partialbruchzerlegung<br />**Lösung:**<br />a) &#8747;&#8730;(8x+17)^5dx<br />lineare Substitution:<br />z=8x+17<br />dz/dx=8 -> dx=dz/8<br />&#8747;&#8730;(8x+17)^5dx=&#8747;z^5/2dz/8=2/7*1/8*z^7/2+C=1/28&#8730;(8x+17)^7+C<br />b)&#8747;x^3ln(3x)dx<br />partielle Integration: &#8747;u'*vdx=u*v-&#8747;v' *udx<br />u'=x^3 u=1/4x^4<br />v=ln(3x) v'=1/x<br />&#8747;x^3ln(3x)dx=ln(3x)*1/4x^4-&#8747;1/x*1/4x^4=1/4x^4*ln(3x)-1/16x^4+C<br />***********--<br />**6.3** Berechnen Sie die bestimmten Integrale mit linearer Substitution bzw. mit Partialbruchzerlegung<br />a) J=&#8747;(von 0 bis &#960;)sin(2t/3-&#960;/2)dt<br />b) &#8747;(von 1 bis 2)(2x-1/((x+2)(x-4)))dx<br />**Lösung:**<br />a) &#8747;(von 0 bis &#960;)sin (2t/3-&#960;/2)dt<br />lineare Substitution:<br />z=2t/3-&#960;/2<br />dz/dt=2/3 -> dt=3dz/2<br />&#8747;(von 0 bis &#960;)sin(2t/3-&#960;/2)dt=&#8747;(von t=0 bis t=&#960;)sin(z)3/2dz=(-3/2cos(z))von t=0 bis t=&#960;<br />=(-3/2cos(2t/3-&#960;/2))von 0 bis &#960; = -3/4&#8730;3 =rund -1,299<br />b) &#8747;(von 1 bis 2) (2x-1)/((x+2)(x-4))dx<br />Grad des Zählerpolynoms =1<br />Grad des Nennerpolynoms =2<br />-> echt gebrochen rationale Funktion<br />Nullstellen: x1=-2; x2=4<br />&#8747;(von 1 bis 2) (2x-1)/((x+2)(x-4))dx=&#8747;(von 1 bis 2)(A/(x+2)+B/(x-4)dx=&#8747;(von 1 bis 2)(A(x-4)/(x+2)+B(x+2)/(x-4))dx<br />Zählervergleich: 2x-1=A(x-4)+B(x+2)<br />x1=-2<br />-5=-6A-> A=5/6<br />x2=4<br />7=6B -> B=7/6<br />&#8747;(von 1 bis 2)(((5/6)/(x+2))+(7/6)/(x-4))dx=(5/6ln(Betrag von x+2)+7/6ln(Betrag von x-4)von 1 bis 2 =5/6ln(4/3)+7/6ln(2/3)=rund -0,2333 <br />*********-<br />**6.4** Berechnen Sie folgende Integrale ausführlich mit partieller Integration und Partialbruchzerlegung<br />a) J=&#8747;x/((x-1)(x-4)^2)dx<br />b) J=&#8747;(von 0 bis 2)x*e^(2x+1)dx<br />**Lösung:**<br />a) J=&#8747;x/((x-1)(x-4)^2)dx<br />Grad des Zählerpolynoms=1<br />Grad des Nennerpolynoms=3<br />-> echt gebrochen rationale Funktion<br />Nullstellen: x1=1; x2=4 ->mehrfach reelle Nullstelle<br />J=&#8747;x/((x-1)(x-4)^2)dx=&#8747;(A/(x-1)+B/(x-4)+C/(x-4)^2)dx<br />=&#8747;((A(x-4)^2+B(x-1)(x-4)+C(x-1))/((x-1)(x-4)^2)dx<br />Zählervergleich: x=A(x-4)^2+B(x-1)(x-4)+C(x-1)<br />x1=1<br />1=9A -> A=1/9<br />x2=4<br />4=3C -> C=4/3<br />x^2: 0=A+B->B=-1/9<br />&#8747;((1/9)/(x-1)+-(1/9)/(x-4)+(4/3)/(x-4)^2)dx=1/9ln(Betrag von x-1)-1/9ln(Betrag von x-4)-4/3*1/(x-4)+C<br />=1/9ln(Betrag von x-1/x-4)-4/3*1/(x-4)+C<br />b)J=&#8747;(von 0 bis 2)x*e^(2x+1)dx<br />partielle Integration: &#8747;u' *v dx= u*v-&#8747;v' *u dx<br />u'=e^(2x+1)<br />u=1/2e^(2x+1)<br />v =x<br />v' =1<br />J=&#8747;(von 0 bis 2)x*e^(2x+1)dx=1/2e^(2x+1)*x-&#8747;1/2e^(2x+1)<br />=((1/2x*e^(2x+1)x-1/4e^(2x+1))von 0 bis 2 = 3/4e^5+1/4e =rund 111,989 <br />***********-<br />**6.5** Berechnen Sie die nachfolgenden Integrale durch Anwendung der partiellen Integration bzw. mit Hilfe der Partialbruchzerlegung. Alle dazu notwendigen Zwischenschritte müssen in logischer Reihenfolge deutlich erkennbar sein:<br />a)&#8747;(x^4+x^2)/((x+2)(x-4)^2)dx<br />b) &#8747;x^2ln(5x)dx <br />**Lösung:**<br />a)&#8747;((x^4+x^2)/(x+2)(x-4)^2)dx=&#8747;((x^4+x^2)/(x^3-6x^2+32))dx<br />Grad des Zählerpolynoms = 4<br />Grad des Nennerpolynoms = 3<br />-> unecht gebrochen rationale Funktion<br />Polynomdivision:<br />(x^4+x^2):(x^3-6x^2+32)=x+6+((37x^2-32x-192)/(x^3-6x^2+32))<br />-(x^4-6x^3+32x)<br />6x^3-32x+x^2<br />-(6x^3-36x^2+192)<br />37x^2-32x-192<br />J1=&#8747;(x+6)dx=1/2x^2+6x<br />J2=&#8747;(37x^2-32x-192/((x+2)(x-4)^2)dx=&#8747;((A/(x+2)+B/(x-4)+C/(x-4)^2)dx<br />Nullstellen: x1=-2; x2=4 -> mehrfach reelle Nullstelle<br />&#8747;(37x^2-32x-192)/((x+2)(x-4)^2)dx = &#8747;((A(x-4)^2+B(x+2)(x-4)+C(x+2))/(x+2)(x-4)^2)dx<br />Zählervergleich: 37x^2-32x-192=A(x-4)^2+B(x+2)(x-4)+C(x+2)<br />x1=-2<br />20=36A -> A=5/9<br />x2=4<br />272=6C -> C=136/3<br />x^2: 37=A+B -> B=328/9<br />J2=&#8747;((5/9)/(x+2)+(136/3)/(x-4)+(328/9)/(x-4)^2)dx=5/9ln(Betrag von x+2)+136/3ln(Betrag von x-4)-328/9*1/(x-4)<br />J=J1+J2=1/2x^2+6x5/9ln(Betrag von x+2)+136/3ln(Betrag von x-4)-328/9*1/(x-4)+C<br />b) &#8747;x^2ln(5x)dx<br />partielle Integration: &#8747;u' *v dx=u*v-&#8747;v' *u dx<br />u' =x^2<br />u=1/3x^3<br />v=ln(5x)<br />v' =1/x<br />&#8747;x^2ln(5x)dx=1/3x^3ln(5x)-&#8747;1/x*1/3x^3dx=1/3x^3*ln(5x)-1/9x^3+C<br />







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DELETIONS
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| -| **6.1** Berechnen Sie folgende Integrale durch lineare Substitution:<br />a) &#8747;&#8730;(2x+b)dx<br />b) &#8747;sin(4t-&#8467;)dt<br />c) &#8747;(von 1 bis 2) dx/(3x-1)^2<br />**Lösung:**<br />a) &#8747;&#8730;(2x+b)dx<br />lineare Substitution:<br />z=2x+b<br />dz/dx=2 ->dx=dz/2<br />&#8747;&#8730;(2x+b)dx = &#8747;&#8730;z dx/2= 3/2*z^(3/2)*1/2+C=1/3(2x+b)^3/2+C<br />b) &#8747;sin(4t-&#8467;)dt<br />lineare Substitution:<br />z=4t-&#8467;<br />dz/dt=4->dt=dz/4<br />&#8747;sin(4t-&#8467;)dt=&#8747;sin(z)dz/4=-1/4cos(z)+C=-1/4cos(4t-&#8467;)+C<br />c) &#8747;(von 1 bis 2) dx/(3x-1)^2<br />lineare Substitution:<br />z=(3x-1)<br />dz/dx=3 -> dx=dz/3<br />&#8747;(von 1 bis 2) dx/(3x-1)^2= &#8747; (von x=1 bis x=2)1/z^2 dz/3=(-1/3*1/z)von x=1 bis x=2 = (-1/3*1/(3x-1) von x=1 bis x=2 = 1/10 <br />**********<br><br />**6.2** Berechnen Sie die unbestimmten Integrale mit den angegebenen Methoden. Alle dazu notwendigen Zwischenschritte müssen klar erkennbar sein:<br />J=&#8747;&#8730;(8x+17)^5dx<br />J=&#8747;x^3ln(3x)dx<br />J=&#8747;(2x-1)/x(x+3)^2<br />a) lineare Substitution<br />b) partielle Integration<br />c) Partialbruchzerlegung<br />**Lösung:**<br />a) &#8747;&#8730;(8x+17)^5dx<br />lineare Substitution:<br />z=8x+17<br />dz/dx=8 -> dx=dz/8<br />&#8747;&#8730;(8x+17)^5dx=&#8747;z^5/2dz/8=2/7*1/8*z^7/2+C=1/28&#8730;(8x+17)^7+C<br />b)&#8747;x^3ln(3x)dx<br />partielle Integration: &#8747;u'*vdx=u*v-&#8747;v' *udx<br />u'=x^3 u=1/4x^4<br />v=ln(3x) v'=1/x<br />&#8747;x^3ln(3x)dx=ln(3x)*1/4x^4-&#8747;1/x*1/4x^4=1/4x^4*ln(3x)-1/16x^4+C<br />***********--<br />**6.3** Berechnen Sie die bestimmten Integrale mit linearer Substitution bzw. mit Partialbruchzerlegung<br />a) J=&#8747;(von 0 bis &#960;)sin(2t/3-&#960;/2)dt<br />b) &#8747;(von 1 bis 2)(2x-1/((x+2)(x-4)))dx<br />**Lösung:**<br />a) &#8747;(von 0 bis &#960;)sin (2t/3-&#960;/2)dt<br />lineare Substitution:<br />z=2t/3-&#960;/2<br />dz/dt=2/3 -> dt=3dz/2<br />&#8747;(von 0 bis &#960;)sin(2t/3-&#960;/2)dt=&#8747;(von t=0 bis t=&#960;)sin(z)3/2dz=(-3/2cos(z))von t=0 bis t=&#960;<br />=(-3/2cos(2t/3-&#960;/2))von 0 bis &#960; = -3/4&#8730;3 =rund -1,299<br />b) &#8747;(von 1 bis 2) (2x-1)/((x+2)(x-4))dx<br />Grad des Zählerpolynoms =1<br />Grad des Nennerpolynoms =2<br />-> echt gebrochen rationale Funktion<br />Nullstellen: x1=-2; x2=4<br />&#8747;(von 1 bis 2) (2x-1)/((x+2)(x-4))dx=&#8747;(von 1 bis 2)(A/(x+2)+B/(x-4)dx=&#8747;(von 1 bis 2)(A(x-4)/(x+2)+B(x+2)/(x-4))dx<br />Zählervergleich: 2x-1=A(x-4)+B(x+2)<br />x1=-2<br />-5=-6A-> A=5/6<br />x2=4<br />7=6B -> B=7/6<br />&#8747;(von 1 bis 2)(((5/6)/(x+2))+(7/6)/(x-4))dx=(5/6ln(Betrag von x+2)+7/6ln(Betrag von x-4)von 1 bis 2 =5/6ln(4/3)+7/6ln(2/3)=rund -0,2333 <br />*********-<br />**6.4** Berechnen Sie folgende Integrale ausführlich mit partieller Integration und Partialbruchzerlegung<br />a) J=&#8747;x/((x-1)(x-4)^2)dx<br />b) J=&#8747;(von 0 bis 2)x*e^(2x+1)dx<br />**Lösung:**<br />a) J=&#8747;x/((x-1)(x-4)^2)dx<br />Grad des Zählerpolynoms=1<br />Grad des Nennerpolynoms=3<br />-> echt gebrochen rationale Funktion<br />Nullstellen: x1=1; x2=4 ->mehrfach reelle Nullstelle<br />J=&#8747;x/((x-1)(x-4)^2)dx=&#8747;(A/(x-1)+B/(x-4)+C/(x-4)^2)dx<br />=&#8747;((A(x-4)^2+B(x-1)(x-4)+C(x-1))/((x-1)(x-4)^2)dx<br />Zählervergleich: x=A(x-4)^2+B(x-1)(x-4)+C(x-1)<br />x1=1<br />1=9A -> A=1/9<br />x2=4<br />4=3C -> C=4/3<br />x^2: 0=A+B->B=-1/9<br />&#8747;((1/9)/(x-1)+-(1/9)/(x-4)+(4/3)/(x-4)^2)dx=1/9ln(Betrag von x-1)-1/9ln(Betrag von x-4)-4/3*1/(x-4)+C<br />=1/9ln(Betrag von x-1/x-4)-4/3*1/(x-4)+C<br />b)J=&#8747;(von 0 bis 2)x*e^(2x+1)dx<br />partielle Integration: &#8747;u' *v dx= u*v-&#8747;v' *u dx<br />u'=e^(2x+1)<br />u=1/2e^(2x+1)<br />v =x<br />v' =1<br />J=&#8747;(von 0 bis 2)x*e^(2x+1)dx=1/2e^(2x+1)*x-&#8747;1/2e^(2x+1)<br />=((1/2x*e^(2x+1)x-1/4e^(2x+1))von 0 bis 2 = 3/4e^5+1/4e =rund 111,989 <br />***********-<br />**6.5** Berechnen Sie die nachfolgenden Integrale durch Anwendung der partiellen Integration bzw. mit Hilfe der Partialbruchzerlegung. Alle dazu notwendigen Zwischenschritte müssen in logischer Reihenfolge deutlich erkennbar sein:<br />a)&#8747;(x^4+x^2)/((x+2)(x-4)^2)dx<br />b) &#8747;x^2ln(5x)dx <br />**Lösung:**<br />a)&#8747;((x^4+x^2)/(x+2)(x-4)^2)dx=&#8747;((x^4+x^2)/(x^3-6x^2+32))dx<br />Grad des Zählerpolynoms = 4<br />Grad des Nennerpolynoms = 3<br />-> unecht gebrochen rationale Funktion<br />Polynomdivision:<br />(x^4+x^2):(x^3-6x^2+32)=x+6+((37x^2-32x-192)/(x^3-6x^2+32))<br />-(x^4-6x^3+32x)<br />6x^3-32x+x^2<br />-(6x^3-36x^2+192)<br />37x^2-32x-192<br />J1=&#8747;(x+6)dx=1/2x^2+6x<br />J2=&#8747;(37x^2-32x-192/((x+2)(x-4)^2)dx=&#8747;((A/(x+2)+B/(x-4)+C/(x-4)^2)dx<br />Nullstellen: x1=-2; x2=4 -> mehrfach reelle Nullstelle<br />&#8747;(37x^2-32x-192)/((x+2)(x-4)^2)dx = &#8747;((A(x-4)^2+B(x+2)(x-4)+C(x+2))/(x+2)(x-4)^2)dx<br />Zählervergleich: 37x^2-32x-192=A(x-4)^2+B(x+2)(x-4)+C(x+2)<br />x1=-2<br />20=36A -> A=5/9<br />x2=4<br />272=6C -> C=136/3<br />x^2: 37=A+B -> B=328/9<br />J2=&#8747;((5/9)/(x+2)+(136/3)/(x-4)+(328/9)/(x-4)^2)dx=5/9ln(Betrag von x+2)+136/3ln(Betrag von x-4)-328/9*1/(x-4)<br />J=J1+J2=1/2x^2+6x5/9ln(Betrag von x+2)+136/3ln(Betrag von x-4)-328/9*1/(x-4)+C<br />b) &#8747;x^2ln(5x)dx<br />partielle Integration: &#8747;u' *v dx=u*v-&#8747;v' *u dx<br />u' =x^2<br />u=1/3x^3<br />v=ln(5x)<br />v' =1/x<br />&#8747;x^2ln(5x)dx=1/3x^3ln(5x)-&#8747;1/x*1/3x^3dx=1/3x^3*ln(5x)-1/9x^3+C<br />
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Revision [9073e2a]
Bearbeitet am 2016-08-01 17:20:29 von Jorina Lossau
ADDITIONS
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| +| **6.1** Berechnen Sie folgende Integrale durch lineare Substitution:<br />a) &#8747;&#8730;(2x+b)dx<br />b) &#8747;sin(4t-&#8467;)dt<br />c) &#8747;(von 1 bis 2) dx/(3x-1)^2<br />**Lösung:**<br />a) &#8747;&#8730;(2x+b)dx<br />lineare Substitution:<br />z=2x+b<br />dz/dx=2 ->dx=dz/2<br />&#8747;&#8730;(2x+b)dx = &#8747;&#8730;z dx/2= 3/2*z^(3/2)*1/2+C=1/3(2x+b)^3/2+C<br />b) &#8747;sin(4t-&#8467;)dt<br />lineare Substitution:<br />z=4t-&#8467;<br />dz/dt=4->dt=dz/4<br />&#8747;sin(4t-&#8467;)dt=&#8747;sin(z)dz/4=-1/4cos(z)+C=-1/4cos(4t-&#8467;)+C<br />c) &#8747;(von 1 bis 2) dx/(3x-1)^2<br />lineare Substitution:<br />z=(3x-1)<br />dz/dx=3 -> dx=dz/3<br />&#8747;(von 1 bis 2) dx/(3x-1)^2= &#8747; (von x=1 bis x=2)1/z^2 dz/3=(-1/3*1/z)von x=1 bis x=2 = (-1/3*1/(3x-1) von x=1 bis x=2 = 1/10 <br />**********<br><br />**6.2** Berechnen Sie die unbestimmten Integrale mit den angegebenen Methoden. Alle dazu notwendigen Zwischenschritte müssen klar erkennbar sein:<br />J=&#8747;&#8730;(8x+17)^5dx<br />J=&#8747;x^3ln(3x)dx<br />J=&#8747;(2x-1)/x(x+3)^2<br />a) lineare Substitution<br />b) partielle Integration<br />c) Partialbruchzerlegung<br />**Lösung:**<br />a) &#8747;&#8730;(8x+17)^5dx<br />lineare Substitution:<br />z=8x+17<br />dz/dx=8 -> dx=dz/8<br />&#8747;&#8730;(8x+17)^5dx=&#8747;z^5/2dz/8=2/7*1/8*z^7/2+C=1/28&#8730;(8x+17)^7+C<br />b)&#8747;x^3ln(3x)dx<br />partielle Integration: &#8747;u'*vdx=u*v-&#8747;v' *udx<br />u'=x^3 u=1/4x^4<br />v=ln(3x) v'=1/x<br />&#8747;x^3ln(3x)dx=ln(3x)*1/4x^4-&#8747;1/x*1/4x^4=1/4x^4*ln(3x)-1/16x^4+C<br />***********--<br />**6.3** Berechnen Sie die bestimmten Integrale mit linearer Substitution bzw. mit Partialbruchzerlegung<br />a) J=&#8747;(von 0 bis &#960;)sin(2t/3-&#960;/2)dt<br />b) &#8747;(von 1 bis 2)(2x-1/((x+2)(x-4)))dx<br />**Lösung:**<br />a) &#8747;(von 0 bis &#960;)sin (2t/3-&#960;/2)dt<br />lineare Substitution:<br />z=2t/3-&#960;/2<br />dz/dt=2/3 -> dt=3dz/2<br />&#8747;(von 0 bis &#960;)sin(2t/3-&#960;/2)dt=&#8747;(von t=0 bis t=&#960;)sin(z)3/2dz=(-3/2cos(z))von t=0 bis t=&#960;<br />=(-3/2cos(2t/3-&#960;/2))von 0 bis &#960; = -3/4&#8730;3 =rund -1,299<br />b) &#8747;(von 1 bis 2) (2x-1)/((x+2)(x-4))dx<br />Grad des Zählerpolynoms =1<br />Grad des Nennerpolynoms =2<br />-> echt gebrochen rationale Funktion<br />Nullstellen: x1=-2; x2=4<br />&#8747;(von 1 bis 2) (2x-1)/((x+2)(x-4))dx=&#8747;(von 1 bis 2)(A/(x+2)+B/(x-4)dx=&#8747;(von 1 bis 2)(A(x-4)/(x+2)+B(x+2)/(x-4))dx<br />Zählervergleich: 2x-1=A(x-4)+B(x+2)<br />x1=-2<br />-5=-6A-> A=5/6<br />x2=4<br />7=6B -> B=7/6<br />&#8747;(von 1 bis 2)(((5/6)/(x+2))+(7/6)/(x-4))dx=(5/6ln(Betrag von x+2)+7/6ln(Betrag von x-4)von 1 bis 2 =5/6ln(4/3)+7/6ln(2/3)=rund -0,2333 <br />*********-<br />**6.4** Berechnen Sie folgende Integrale ausführlich mit partieller Integration und Partialbruchzerlegung<br />a) J=&#8747;x/((x-1)(x-4)^2)dx<br />b) J=&#8747;(von 0 bis 2)x*e^(2x+1)dx<br />**Lösung:**<br />a) J=&#8747;x/((x-1)(x-4)^2)dx<br />Grad des Zählerpolynoms=1<br />Grad des Nennerpolynoms=3<br />-> echt gebrochen rationale Funktion<br />Nullstellen: x1=1; x2=4 ->mehrfach reelle Nullstelle<br />J=&#8747;x/((x-1)(x-4)^2)dx=&#8747;(A/(x-1)+B/(x-4)+C/(x-4)^2)dx<br />=&#8747;((A(x-4)^2+B(x-1)(x-4)+C(x-1))/((x-1)(x-4)^2)dx<br />Zählervergleich: x=A(x-4)^2+B(x-1)(x-4)+C(x-1)<br />x1=1<br />1=9A -> A=1/9<br />x2=4<br />4=3C -> C=4/3<br />x^2: 0=A+B->B=-1/9<br />&#8747;((1/9)/(x-1)+-(1/9)/(x-4)+(4/3)/(x-4)^2)dx=1/9ln(Betrag von x-1)-1/9ln(Betrag von x-4)-4/3*1/(x-4)+C<br />=1/9ln(Betrag von x-1/x-4)-4/3*1/(x-4)+C<br />b)J=&#8747;(von 0 bis 2)x*e^(2x+1)dx<br />partielle Integration: &#8747;u' *v dx= u*v-&#8747;v' *u dx<br />u'=e^(2x+1)<br />u=1/2e^(2x+1)<br />v =x<br />v' =1<br />J=&#8747;(von 0 bis 2)x*e^(2x+1)dx=1/2e^(2x+1)*x-&#8747;1/2e^(2x+1)<br />=((1/2x*e^(2x+1)x-1/4e^(2x+1))von 0 bis 2 = 3/4e^5+1/4e =rund 111,989 <br />***********-<br />**6.5** Berechnen Sie die nachfolgenden Integrale durch Anwendung der partiellen Integration bzw. mit Hilfe der Partialbruchzerlegung. Alle dazu notwendigen Zwischenschritte müssen in logischer Reihenfolge deutlich erkennbar sein:<br />a)&#8747;(x^4+x^2)/((x+2)(x-4)^2)dx<br />b) &#8747;x^2ln(5x)dx <br />**Lösung:**<br />a)&#8747;((x^4+x^2)/(x+2)(x-4)^2)dx=&#8747;((x^4+x^2)/(x^3-6x^2+32))dx<br />Grad des Zählerpolynoms = 4<br />Grad des Nennerpolynoms = 3<br />-> unecht gebrochen rationale Funktion<br />Polynomdivision:<br />(x^4+x^2):(x^3-6x^2+32)=x+6+((37x^2-32x-192)/(x^3-6x^2+32))<br />-(x^4-6x^3+32x)<br />6x^3-32x+x^2<br />-(6x^3-36x^2+192)<br />37x^2-32x-192<br />J1=&#8747;(x+6)dx=1/2x^2+6x<br />J2=&#8747;(37x^2-32x-192/((x+2)(x-4)^2)dx=&#8747;((A/(x+2)+B/(x-4)+C/(x-4)^2)dx<br />Nullstellen: x1=-2; x2=4 -> mehrfach reelle Nullstelle<br />&#8747;(37x^2-32x-192)/((x+2)(x-4)^2)dx = &#8747;((A(x-4)^2+B(x+2)(x-4)+C(x+2))/(x+2)(x-4)^2)dx<br />Zählervergleich: 37x^2-32x-192=A(x-4)^2+B(x+2)(x-4)+C(x+2)<br />x1=-2<br />20=36A -> A=5/9<br />x2=4<br />272=6C -> C=136/3<br />x^2: 37=A+B -> B=328/9<br />J2=&#8747;((5/9)/(x+2)+(136/3)/(x-4)+(328/9)/(x-4)^2)dx=5/9ln(Betrag von x+2)+136/3ln(Betrag von x-4)-328/9*1/(x-4)<br />J=J1+J2=1/2x^2+6x5/9ln(Betrag von x+2)+136/3ln(Betrag von x-4)-328/9*1/(x-4)+C<br />b) &#8747;x^2ln(5x)dx<br />partielle Integration: &#8747;u' *v dx=u*v-&#8747;v' *u dx<br />u' =x^2<br />u=1/3x^3<br />v=ln(5x)<br />v' =1/x<br />&#8747;x^2ln(5x)dx=1/3x^3ln(5x)-&#8747;1/x*1/3x^3dx=1/3x^3*ln(5x)-1/9x^3+C<br />
Revision [47d025f]
Bearbeitet am 2016-07-27 09:23:50 von Jorina Lossau
DELETIONS
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ADDITIONS
### Tutorium Mathematik 2
#### Integralrechnung - Lösungen
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